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流体力学の基礎知識(内部流れ編)

流体力学の基礎知識

著者:防衛大学校 システム工学群 機械システム工学科 教授 西海 孝夫

流体は、定まった形を持たず、形状を自由に変化させて流れを生む物質で、気体と液体が相当します。機械には少なからず流体が介在し、流体の特性が機械の性能に影響を及ぼしたり、不可解な流動現象を引き起こすことがあります。流体力学に関する知識の必要性を実感している設計者も、多いのではないでしょうか。本稿では、流体の性質に始まり、機器内部で生じる流体の漏れ、流れの絞り、静圧軸受、流体力、また、水や油に代表される液体の内部流れなど、流体力学の基礎知識を解説します。

第1回:流体とは

1. 流体とは?流れとは?

物質の状態は、固体・液体・気体の3相に分類されます(図1)。固体は、分子が規則正しく並び、互いに強い分子間力で結びついた状態です。そのため、決まった形状と体積を持つのが特徴です。一方、液体と気体の分子間力は固体より弱く、各分子は自由に位置を変えることができます。気体は圧縮されやすく、形状や体積を容易に変え、密閉した容器の中で充満します。これに対し、液体は圧縮されにくく、容器形状にならい変形します。

図1:物質の状態

図1:物質の状態

・流体

流体は、定まった形を持たず、形状を自由に変化させて流れを生む物質で、気体と液体が相当します。流体の重要な性質は、圧縮性と粘性です。圧縮性は、圧力を受けることで、体積や密度が変化する性質です。一般的に、気体は圧縮性流体、液体は非圧縮性流体として取り扱われます。粘性は、物質の運動に伴い変形し、抵抗を生じる性質です。流体の粘さの度合いを表します。粘性が支配的な流体を粘性流体、粘性がないと仮定した流体を非粘性流体といいます。また、粘性も圧縮性もない仮想の流体を、理想流体といいます。理想流体は、数式での取り扱いが容易です。

流体の流れや熱移動などをコンピュータで計算し、解析することを流体解析といいます。本稿では、流体解析の詳細は割愛します。しかし、流体解析を行う際は、本稿で取り上げる内部流れの現象などを理解することが不可欠です。

・流れ

流れは、内部流れと外部流れに分類できます。内部流れは、境界壁で囲まれている流れです。管路やダクト内の流れ、ターボ機械や油空圧機器など流体機械内の流れなど、多岐にわたります。一方、外部流れは、流体が境界壁で覆われていない流れです。特に、車両や船舶、航空機などにおける、円柱、球、翼などの物体周りの流れを指します。

全ての流れの状態は、厳密には3次元流れです。自動車、航空機、船舶、建造物の周りの流れや、回転するボールの動きを十分に調べるには、3次元流れとして扱う必要があります。しかし、コンピュータの計算能力が向上したとはいえ、数値計算は複雑で、実験的にも3次元流れの挙動を計測することは困難です。そこで、翼幅が一様で長い翼や、煙突のような円柱物体は、両側の端部付近を除き、2次元流れに近似して考えます。

これに対して、1つの座標のみによって定められる流れの状態を、1次元流れといいます。水道パイプや排気ダクトの実際の流れを考えると、管の壁面近くでは流体の粘性によって流速は遅く、管の中央部になるにつれて壁面摩擦の影響が減り、流速が増します。しかしながら、図2に示すように、s軸方向に沿って管路の断面や方向が穏やかに変わる流速は、巨視的に管路断面にわたって平均流速vであると考えることができます。この場合、流速vは、位置座標sと時間tのみの関数として、すなわち、準1次元流れとして取り扱います。この流れは、理論的な扱いが簡単なので、実用上の設計計算などに幅広く用いられています。準1次元流れでは、流速vを断面平均流速として取り扱うだけではなく、圧力pや、密度ρも、断面にわたって平均値と見なすことができます。

図2:準1次元流れ

図2:準1次元流れ

流れは、空間的な分類だけではなく、時間的に分類することも可能です。時間とともに状態が変化する流れを非定常流れといい、変化しない流れを定常流れといいます。流れの状態を知るために、流線と流管の定義を用いて考えてみましょう(図3)。流線とは、定められた時刻において、それぞれの点での流体粒子の持つ速度ベクトルが接する曲線です。また、流れ場に任意の閉曲線を考え、この閉曲線を通る無数の流線で囲まれた管を流管と呼びます。任意の瞬間を捉えた場合、流線は互いに交わることはないため、流管に流れ込んだ流体は、あたかも閉曲線で囲われた面を管路壁面のように通り、流管内の流体粒子は、流線に沿って流出します。

図3:流線と流管

図3:流線と流管

2. 流体を表す物理量

流体を表す物理量として、密度と比重、粘性、圧縮性を解説します。

・密度と比重

流体の単位体積当たりの質量を、密度ρ(kg/m3)といい、質量をm、体積をVとすると、次式で表すことができます。図4は、質量と体積のイメージです。

密度ρ

図4:質量と体積のイメージ

図4:質量と体積のイメージ

流体の密度は、その圧力や温度によって変化します。ただし、液体は気体に比べて変化を受けにくく、高圧下や特別な状況を除き、密度は一定であると考えることができます(ρ=const.)。水の密度は、標準大気圧1atm(101.3kPa)、4℃において、ρw=1000kg/m3です。比重とは、この状態での水の密度ρwに対する物質の密度ρの比をいい、以下の式で定義されます。

比重s

比重sは、ガソリン・潤滑油・油圧作動油など油類では0.73~0.9、アルコールでは0.79、海水では1.02、水銀では13.6です。

・粘性

流体に力を作用させると変形し、抵抗を示します。この性質を粘性といいます。隙間hだけ離れ、平行して対面する面積Aの壁の間には、流体が満たされている場合を考えてみましょう(図5)。

図5:クエット流れ

図5:クエット流れ

このとき、下の面を固定し、上の面に力Ftを右方向へかけると、上の面は速度Uで移動します。両面に接する流体要素は、壁面に付着して滑りがないと仮定すると、力Ftは、面積Aと速度Uが大きく、隙間hが小さいほど大きくなると考えられ、次の関係式が成り立ちます。

ここで、μ(Pa・s)は粘度で、比例定数です。よって、せん断応力τは、以下の式で表されます。このような流れをクエット流れと呼びます。

せん断応力τ

また、壁面間の流れが層状をなして流れる状態(層流)の場合、壁の隙間の流速uは直線的に変化します。この変化割合u/y=U/hを、速度勾配du/dyで表せば、図5のように、速度勾配が直線的でないとき、流体中の仮想面に働くせん断応力τは、以下の式で表すことができ、この式をニュートンの粘性法則と呼びます。

速度勾配が直線的でないとき、流体中の仮想面に働くせん断応力τ

図6は、壁面付近の速度分布です。速度が遅い壁面近くの領域を、境界層といいます。

図6:壁面付近の速度分布

図6:壁面付近の速度分布

これに対して、両者の比例関係が成立しない流体を非ニュートン流体といいます。図7は、ビンガム流体、ダイラタント流体、擬塑性流体について、速度勾配du/dyに対するせん断応力τの特性を示したものです。

図7:速度勾配に対するせん断応力の関係

図7:速度勾配に対するせん断応力の関係

流体が流れている状態で粘性の影響を考えるときには、次式のように、粘度μを密度ρで除した動粘度ν(m2/s)で表現することが有効です。

粘度μを密度ρで除した動粘度ν

・圧縮性

一般に、液体は非圧縮性流体として取り扱われます。ただし、液体の圧力が高く、圧力変化が急激で無視できない状態では、圧縮性を考慮しなければなりません。流体の圧縮性を表す物理量に、体積弾性係数があります。ピストンが取り付けられた密閉の剛体容器を考えてみましょう(図8)。

図8:剛体容器内の体積と圧力の変化

図8:剛体容器内の体積と圧力の変化

ピストンに力Fを与え、剛体容器の中で体積Vの液体をΔVだけ減少させると、Δpだけ圧力が増加して、容器内の圧力がpからp+Δpになります。このとき、体積弾性係数K(Pa)は、次の関係式で与えられます。

体積弾性係数K(Pa)

この体積弾性係数Kは、気泡を完全に除去した状態です。しかし、実際には、容器内の液体に気泡(空気)が混入しています。容器内の液体を大気圧poから圧力pまで上昇させるとき、気泡の混入を考慮した液体の有効体積弾性係数Keは、以下の式で表されます。

気泡の混入を考慮した液体の有効体積弾性係数Ke

ここに、εvは、大気圧下での空気の体積Voと、液体の体積Vfの比で、εv=Vo/Vfが成り立ちます。Kは気泡混入のない状態での、液体の体積弾性係数です。また、nはポリトロープ指数であり、空気の状態変化はポリトロープ変化であると仮定しています。図9は、圧力変化が急激な場合を断熱変化(n=1.4)と考え、体積弾性係数K(Pa)の式を用いて、有効体積弾性係数Keを正規化して算出した結果です。

図9:気泡を考慮した体積弾性係数

図9:気泡を考慮した体積弾性係数

液中を圧力変化が波として伝播する速度、すなわち音速aは、液体の体積弾性係数Kと密度ρで決まり、以下の式となります。

液中を圧力変化が波として伝播する速度

このとき、直径がd、管壁厚さがδの薄肉管路の弾性変形があると見なせば、その音速aoは、以下の式で与えられます。Eは管材料の縦弾性係数であり、鉄鋼の場合、E≒206GPaです。

直径がd、管壁厚さがδの薄肉管路の弾性変形があると見なすao

今回は、流体と流れの概論と、流体の基礎式について解説しました。次回は、流れを表す公式を取り上げます。

 

第2回:連続の式とベルヌーイの定理

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前回は、流体と流れの概論と、流体を表す基礎式を解説しました。今回は、流れを表すさまざまな公式を取り上げます。まずは、流量と流速から見ていきましょう。

1. 流量と流速

流体がどのような速さで、どの方向に動くかを表す物理量には、流体の速度、いわゆる流速があります。流速は、単位時間当たりの流体の移動距離で表され、単位はm/sです。流速は場所と時間によって複雑に変動します。ただし、管路のような内部流れでは、一方向の流れに近似して考えることができます。

図1:管路内の流量と速度

図1:管路内の流量と速度

例えば、図1の断面積Aを通るx軸方向の流速は、管壁からの粘性による摩擦せん断応力や、管路の曲がり形状の影響を受けるため、断面上の位置により異なります。このような微小面積dAを通る流速uを、断面積Aにわたり面積分すると以下の式で表すことができます。このQを体積流量、あるいは単に流量と呼びます。

これに対し、時間的に変動がない断面平均流速vを考えた場合、定められた時間tcの間に、断面積Aを通る流体の体積V、すなわち流量Qは以下の式で表すことができます。

2. 圧力とせん断応力

流体の挙動を記述するために不可欠な物理量として、圧力とせん断応力があります。圧力pとせん断応力τは、それぞれ、流体中の壁や仮想の面の単位面積当たりに働く力の法線方向と接線方向の成分と定義され、単位はパスカル(Pa)です(図2)。

図2:圧力とせん断応力

図2:圧力とせん断応力

圧力pとせん断応力τが、面積Aにわたり均等であるならば、以下の関係式が成り立ちます。Fnは面に垂直に作用する力Ftは面に平行に作用する力です。

圧力の大きさを表すには、基準圧の取り方によって2つの方法があります。1つは、完全真空を基準とする絶対圧力pA、もう1つは、大気圧po(1013hPa=0.1013MPa)を基準とするゲージ圧力pGで、以下の式で表すことができます。

また、両者の関係は、図3のように表すことができます。大気圧よりも低い圧力状態を真空といい、真空状態での負のゲージ圧を負圧、正のゲージ圧を正圧と呼びます。また、流体機器で用いられる圧力の国際単位系(SI)には、メガパスカル(MPa:Paの106倍)、またはキロパスカル(kPa:Paの103倍)があります。

図3:絶対圧力とゲージ圧力の関係

図3:絶対圧力とゲージ圧力の関係

静止流体中の圧力には、以下の3つの特徴があります。3番目は、パスカルの原理として知られています。

1:空間において、任意の点における圧力の大きさは、全ての方向に無関係に等しい。

2:圧力は面が平面であれ、曲面であれ、その面に対して垂直方向に作用する。

3:密閉容器内の流体の一部分に与えられた圧力は、損失なく全部分へ伝達される。

図4の連結管を例に、パスカルの原理を説明します。

図4:連結管によるパスカルの原理の説明

図4:連結管によるパスカルの原理の説明

左側の小さい面積aのピストンに力fが加わると、シリンダ内に圧力p=f/aが発生します。この圧力pは連結管を経て、右側の大きい面積Aのピストンに同じ大きさで伝達し、以下に示す式のように、壁面からの反力Fを生み出します。従って、連結管を用いることで、ピストンの面積比A/aに応じて力を増幅することが可能です。

3. レイノルズ数

流体機器内での流れを特徴付ける様相に、層流と乱流があります。これらは、レイノルズ数という無次元量により決まります。1883年にイギリスの物理学者レイノルズ(Osborne Reynolds)は、管内の流れの状態を調べるために、着色液と水が流れる透過性のガラス管装置を考案、および製作し、歴史的に重要な流れの可視化実験を行いました。

ガラス管の絞り弁を全閉から徐々に開けると、断面平均流速vが遅い状態では、着色液はガラス管内で明瞭な一条の流線を形成します(図5の上)。さらに絞りを開けても、流量が少ないときには流れの状態は変わりません。しかし、ある平均流速vcに達すると、ガラス管の途中から、着色液は急に周辺の水と混合しながら拡散し、ガラス管全体に充満します(図5の下)。前者の流体粒子が層状となる流れが層流、後者の流体粒子が不規則な運動する流れが乱流です。

図5:層流と乱流

図5:層流と乱流

また、流れが層流から乱流に移る状態を遷移といい、その流速vcを臨界流速といいます。レイノルズは、実験装置のガラス管の直径や、水温などを変えて実験を行い、層流から乱流に遷移する現象は、次式の無次元数Reに依存することを発見しました。

この無次元数Reをレイノルズ数といいます。ここに、dは管の直径、vは管内の断面平均流速、νは流体の動粘度、μは流体の粘度、ρは流体の密度です。特に、遷移が起こり始めるレイノルズ数を臨界レイノルズ数Recと呼び、臨界流速vcとの間には以下の関係があります。

実験によれば、乱流から層流に遷移する臨界レイノルズ数は、管内流れにおいて、Rec=2320以下の値を示すとされ、信頼できる実用値として用いられています。

ただし、層流から流速を上げて乱流になるときと、乱流から流速を下げて層流になるときでは、この臨界レイノルズRecは異なり、流れの形態や実験条件によっても大きく変化します。なお、レイノルズ数Reとは、流体の持つ慣性力Fiと粘性力Fvの比であり、相似則から、以下のように定義されます。

4. 連続の式

流体機器内の流れの状態が時間とともに変化せず、質量mの流体が定められた時間tcの間に断面積Aを通過するならば、Qmは、密度ρ、および流量Qを表す式により、以下のように表され、このQmを質量流量といいます。

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5. ベルヌーイの定理

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第3回:すきま流れ

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前回は、流れを表すさまざまな公式を紹介しました。今回は、すきま流れを解説します。流体機器の各所には、多くのすきまが存在しています。これらのすきまは、漏れや粘性摩擦抵抗を発生させ、動力損失を引き起こします。

1. 静止平板間の流れ

まず、静止平板間の流れを解説します。図1は、静止平行平板間の流れの模式図です。

図1:静止平行平板間の流れ

図1:静止平行平板間の流れ

粘性力と圧力による力の釣り合いを考慮し、ニュートンの粘性法則τ=μ(du/dy)を適用すると、平板間の流速は以下の式で表すことができます。

この速度分布は、同図に示すように放物線で表されます。このような流れを、2次元ポアズイユ流れといいます。また、この式を、y=0からy=hまでyに関して定積分し、流れ方向の平板の長さlに対してΔpの圧力降下があるとすれば、平板幅bを持つ流量Qの式は次式になります。

平行平板を流れる流量Q(単位:m3/s)は、平板の幅b、圧力降下Δp、平板間の距離hの3乗に比例し、流体の粘度μ、平板の長さlに反比例します。

2. 移動平板間の流れ

流体機器内の流れでは、壁面が静止せずに移動していることがあります。その場合の漏れ流量や、壁面摩擦損失を見積もることは重要です。図2は、下板が固定され、上板がx軸の正方向に速度u=+Uで移動している平行平板間の流れです。

図2:移動する平行平板間の流れ

図2:移動する平行平板間の流れ

このとき、流体の速度uは、以下の式で表されます。

右辺の第1項u1は2次元ポアズイユ流れです。また、第2項u2はクエット流れ(第1回参照)を意味しています。すなわち、この流れは、図2に破線と細線で示すように、圧力勾配によって生じる2次元ポアズイユ流れ(速度u1)と、壁面の移動によるクエット流れ(速度u2)を合成し、重ね合わせたもの(速度u=u1+u2)です。この流れによって生じるせん断応力τは、流れ方向の平板の長さlに対してΔpの圧力降下があるとすれば、上式をyで微分し、ニュートンの粘性法則 τ=μ(du/dy)を用いることで、次式が得られます。

下壁面y=0、上壁面y=hでの各壁面せん断応力τ0は、以下となります。

上式で、U=0とすると静止平板間でのせん断応力が求められます。また、壁面せん断応力τ0に対象の面積を掛けることで、粘性摩擦力による損失を算定できます。

3. 環状すきま流れ

図3は、同心環状すきま流れの模式図、および展開図です。図3の左は、半径rのピストン外面と半径Rのシリンダ内面によって構成される同心環状の狭いすきまhを示しています。このすきまhに、粘度μの流体が左から右へ流れているときの漏れ流量Qについて考えてみましょう。

図3:同心環状すきま流れ

図3:同心環状すきま流れ

図3の中央で、ピストンとシリンダが同一中心軸上にある場合、円環状の狭いすきまhは、ピストンやシリンダの半径に比べ、非常に小さい値となります(h<<r、h<<R)。そのため、円環部を平面に引き伸ばせば、幅bが2πR(≒2πr)の2次元ポアズイユ流れで近似ができます(図3の右)。よって、前述の流量の式について、平板幅b=2πRに置き換えると、同心の環状すきまを流れる漏れ流量Qは、以下のようになります。ここに、Δpはシリンダ長さlでの圧力降下、hは平均すきまで、h=R-rです。

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4. 放射状すきまの流れ

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第4回:内部流体のエネルギー損失

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前回は、すきま流れを説明しました。今回は最終回です。内部流体のエネルギー損失について解説します。液体が管路内を流れるとき、管路内部の摩擦などによる圧力の損失や、流体の局所的な圧力低下に起因するキャビテーションと呼ばれる流体現象が発生し、流体のエネルギー損失を引き起こすことがあります。

1. 圧力損失

直径がd、長さがlの真っ直ぐな円管路内の流れでは、層流、乱流にかかわらず、次式で表される圧力損失pLが生じます。この式は、ダルシー・ワイスバッハの式といい、十分に発達した流れに適用できます。

λは管摩擦係数と呼ばれ、層流領域では、ハーゲン・ポアズイユ流れの式(第3回参照)から、Δp=pLと置けば、λ=64/Reが求められます。一方、乱流領域では、管摩擦係数λはレイノルズ数Reだけの関数では表現できず、管路内の壁面の粗さにも依存することが多数の実験的な研究によって明らかにされています。特に、滑らかな内壁に適用できる実験式としては、ブラジウスの式とニクラゼの式が一般的です。両式の管摩擦係数λは、それぞれのレイノルズ数Reの範囲で、下記のレイノルズ数Reの関数で表すことができます。

・ブラジウスの式(Re=3×103~1×105

ブラジウスの式

・ニクラゼの式(Re=1×105~3×106

ニクラゼの式

乱流領域でも管内壁の粗さが無視できない場合には、レイノルズ数Reのほかに、相対粗さε/d(管内径dに対する内壁面の平均粗さεの比)の関数として、管摩擦係数λを取り扱う必要があります。図1は、ムーディ線図と呼ばれ、これらの関係を示しています。例えば、レイノルズ数がRe=2×105のとき、管路の内壁面が滑らかな状態では、図中の青い線で示すように管摩擦係数はλ=0.0155となります。これに対して、内壁面が粗く相対粗さがε/d=0.01の状態では、赤い線で示すように管摩擦係数はλ=0.04となり、同じレイノルズ数の流れでも圧力損失は約2.6倍になります。

図1:ムーディ線図

図1:ムーディ線図

流体機器内の流路には、円管として扱うことができない断面形状もあります。図2は、矩形の断面形状を持つ流路の例です。

図2:矩形断面の流路

図2:矩形断面の流路

このような矩形や楕円形などの断面形状の流れにおいて、圧力損失pLを求めるときは、円管路の直径dの代わりに、水力直径dhが使用されます。水力直径は、dh=4A/Sで定義されます。Aは流路の断面積、Sは流体が接する流路断面の周囲長さです。Sは、ぬれ縁(ぶち)長さと呼ばれます。従って、矩形断面の流路では、水力直径はdh=2ab/(a+b)となります。

流体機械などでは、液体はポンプによってタンクから吸い込まれ、さまざまな形状の管路やバルブ内の流路を流れます。このような管路や流路では、粘性摩擦によるエネルギー損失のほかに、管路断面の形状や方向の変化などに起因するエネルギー損失を伴います。従って、上流側での流体エネルギーは、下流側での流体エネルギーに比べて大きく、圧力損失を考慮したベルヌーイの式(第2回参照)が用いられます。個々の管路要素の圧力損失pLは、その抵抗を受ける場所の上下流における平均流速をv1、v2とすれば、その大小によって異なり、以下の式によって定義されます。

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2. キャビテーション

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